Как решать задания на сравнение величин (колонки А и Б)?

Задания на сравнение величин составляют часть I раздела «Математика» на ОРТ: в пробном тесте ЦООМО это вопросы с 1 по 30, на них даётся 30 минут. Значит, в среднем на одно задание около минуты.

Как выглядит задание

Даны две величины в рамках: одна в колонке А, другая в колонке Б. Варианты ответа всегда одни и те же:

• (А), если больше величина в колонке А;
• (Б), если больше величина в колонке Б;
• (В), если величины равны;
• (Г), если по имеющейся информации нельзя определить, какая больше, и нельзя установить равенство.

Иногда над колонками дано условие без рамки, например «x > 0». Буква, которая стоит в обеих колонках, означает одно и то же число.

Пример 1: считать до конца не нужно

Колонка А: 49 · 51. Колонка Б: 50².

Заметь, что 49 · 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 50² − 1. Значит, А на 1 меньше Б. Ответ (Б). Никакого умножения в столбик.

Пример 2: когда ответ (Г)

Условие: x > 0. Колонка А: x². Колонка Б: x.

Подставь x = 2: А = 4, Б = 2, больше А. Подставь x = 1/2: А = 1/4, Б = 1/2, больше Б. Результат зависит от x, поэтому ответ (Г).

Пример 3: условие меняет ответ

Условие: x > 1. Колонка А: x². Колонка Б: x.

Теперь при любом допустимом x квадрат больше самого числа: x² − x = x(x − 1), и оба множителя положительны. Ответ (А).

Три рабочих приёма

1. Подстановка особых чисел. Если есть неизвестное, проверь 0, 1, −1, дробь между 0 и 1 и большое число, но только те, что разрешает условие. Разные результаты сразу дают (Г).
2. Одинаковые действия с обеими колонками. К обеим величинам можно прибавить одно и то же число или умножить их на одно и то же положительное число: соотношение не изменится. Умножение на отрицательное число меняет его на обратное, а на выражение с неизвестным знаком умножать нельзя.
3. Перекрёстное сравнение дробей. А: 3/7, Б: 5/12. Сравни 3 · 12 = 36 и 5 · 7 = 35: больше А. Работает, когда знаменатели положительны.

Когда (Г) невозможен

Если в обеих колонках стоят только числа без неизвестных, ответ (Г) неверен: два конкретных числа всегда можно сравнить. (Г) возможен, только когда чего-то не хватает: есть неизвестное или рисунок без нужных размеров.

Типичные ошибки

• Считать, что x целое и положительное, хотя в условии этого нет. В тесте используются все действительные числа.
• Забывать про ноль и отрицательные числа.
• Выбирать (Г) от неуверенности, когда в колонках просто числа.
• Судить о равенстве отрезков на глаз. Рисунок в масштабе помогает прикинуть, но ответ обосновывай свойством фигуры или расчётом.

Больше примеров ловушек в статье Типичные ловушки математики.

Частые вопросы

Что означают ответы (А), (Б), (В) и (Г) в сравнении величин?

(А): больше величина в колонке А, (Б): больше величина в колонке Б, (В): величины равны, (Г): по имеющейся информации определить нельзя.

Когда в сравнении величин выбирать ответ (Г)?

Только когда чего-то не хватает: есть неизвестное, и при разных допустимых значениях результат получается разным, или на рисунке нет нужных размеров. Если в обеих колонках только числа, (Г) неверен.

Сколько времени даётся на одно задание на сравнение?

На 30 заданий части I отводится 30 минут, то есть в среднем около минуты на задание.